【高考】点差法是怎么回事啊

Question

给两个经典例题和推导过程。谢谢

Answer 1

点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。 利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。 点差法：适应的常见问题： 弦的斜率与弦的中点问题； ①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0） ②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。 在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题. 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解. 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法". 求直线方程或求点的轨迹方程 例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程. 解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②； 由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③； 同理 px2 +3y2+q=0 ④. ∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为两点确定一条直线. ∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程. 例2 过椭圆x^2＋4y^2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2＋4y1^2=16，x2^2＋4y2^2=16， 两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1+y2)=0，因为x1＋x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除(x1－x2)，有2+8k=0∴k=－0.25.故直线l的方程为y－1=－0.25(x－1)，即4y + x－5=0

Answer 2

直线与曲线有两个交点，把两个交点坐标带入曲线方程，得出两个方程，两个方程相减，得出一个方程。里面有斜率有中点坐标。就叫点差法。
如x²／a²-y²／b²=1,一条直线与它有两个交点A（x1，y1），B（x2,y2）,把A，B带入曲线方程得
(x1)²／a²-(y1)²／b²=1,(x2)²／a²-(y2)²=1.两式相减得（x1-x2）（x1+x2）／a²-(y1-y2)(y1+y2)／b²＝0。一整理就出来斜率，和中点坐标。明白了吧。
已知椭圆的中心在坐标圆点，焦点在坐标轴上，直线x-y+1＝0 椭圆交点P,Q，OP垂直OQ，PQ长（根号10）/2，求椭圆方程.
设椭圆方程为ax^2+by^2=1
P（x1，y1），Q（x2，y2）
直线x-y+1＝0 则x=y-1 (1)
y=x+1 (2)
(1)代入椭圆方程
(a+b)y^2-2ay+a-1=0
所以y1+y2=2a/(a+b)
y1*y2=(a-1)/(a+b)
(2)代入椭圆方程
(a+b)x^2+2bx+b-1=0
x1+x2=-2b/(a+b)
x1*x2=(b-1)/(a+b)
OP垂直OQ
则y1*y2/x1*x2=-1
a-1=1-b a=2-b (3)
PQ长（根号10）/2
则(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=5/2
x1^2+x2^2-2x1x2+y1^2+y2^2-2y1y2=5/2
(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2=5/2
因为x1x2=-y1y2
所以
(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=5/2
4b^2/(a+b)^2+4a^2/(a+b)^2=5/2
8a^2+8b^2=5(a+b)^2
3a^2-10ab+3b^2=0
(a-3b)(3a-b)=0
所以a=3b或3a=b
代入（3）式得
b=1/2 a=3/2
a=1/2 b=3/2

椭圆方程
x^2/2+3y^2/2=1 或
3x^2/2+y^2/2=1