求数列前n项和的方法

Question

如题所述

Answer 1

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (n属于自然数）。

a1为首项，an为末项，n为项数,d为等差数列的公差。

等比数列 an=a1×q^(n-1)；

求和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

Sn =an+ an-1+an-2...... +a1

上下相加得Sn=(a1+an)n/2

扩展资料：

证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证。

参考资料来源：百度百科——数列求和

Answer 2

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (n属于自然数）。

a1为首项，an为末项，n为项数,d为等差数列的公差。

等比数列 an=a1×q^(n-1)；

求和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

Sn =an+ an-1+an-2...... +a1

上下相加得Sn=(a1+an)n/2

扩展资料：

平方和相关公式：

（1）1+2+3+.+n=n(n+1)/2

（2）1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

（3）1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)

＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)

=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+.+n)

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)

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Answer 3

求数列前n项和的方法取决于数列的规律。以下是几种常见数列的求和方法：

1. 等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，前n项和为Sn = n/2 * (a1 + an)。

2. 等比数列（Geometric Progression，简称GP）：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，前n项和为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当r ≠ 1时成立。

3. 平方数列（Square Progression，简称SP）：
若数列的通项公式为an = n^2，前n项和为Sn = n * (n+1) * (2n+1) / 6。

4. 立方数列（Cube Progression，简称CP）：
若数列的通项公式为an = n^3，前n项和为Sn = (n * (n+1) / 2)^2。

5. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）：
若数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1，前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n个斐波那契数。

对于其他数列，可能需要不同的方法进行求解。

Answer 4

一、知识点定义来源和讲解

数列前n项和是指将数列的前n项进行求和的操作。数列前n项和的计算方法依赖于数列的规律和性质。

对于等差数列和等比数列，有特定的公式可以直接求解前n项和。

二、知识点运用

数列前n项和的计算在数学和实际问题中都有广泛的应用，例如：

1. 等差数列：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = n(a1 + an)/2。

2. 等比数列：对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)，当|r| < 1时也可以使用无穷级数求和。

3. 其他数列：对于其他非等差、非等比的数列，需要根据数列的规律和性质，使用递推关系或者其他方法进行求和。

三、知识点例题讲解

问题：求等差数列3, 6, 9, 12, ...的前10项和。

解答：
这是一个等差数列，首项a1 = 3，公差d = 6 - 3 = 3。
根据等差数列的前n项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，代入已知数据：
Sn = 10(3 + 3*9)/2
= 10(3 + 27)/2
= 10(30)/2
= 150

所以，等差数列3, 6, 9, 12, ...的前10项和为150。

Answer 5

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d

前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (n属于自然数）。

a1为首项，an为末项，n为项数,d为等差数列的公差。

等比数列 an=a1×q^(n-1)；

求和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

Sn =an+ an-1+an-2...... +a1

上下相加得Sn=(a1+an)n/2

扩展资料：

证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：

求证：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

则当n=k+1时有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证。

参考资料来源：百度百科——数列求和