将微分方程y'=y-y^3+x[n]变为差分方程

Question

如题所述

Answer 1

设方程的定义域为[a,b]，则将其n等分，第k（0<=k<n)个点为（xk,yk)=(a+k(b-a)/n,y(a+k(b-a)/n))；
所以差分方程为：y(a+(k+1)(b-a)/n))-y(a+k(b-a)/n))=(b-a)/n*[y(a+k(b-a)/n)-y(a+k(b-a)/n)^3+a+k(b-a)/n]；
希望能给你帮助。追问

前面有个系数(b-a)/n，
是不是 y'=[y(k+1)-y(k)]/k 的缘故？

追答

y'的表达式不是那个。将微分化为差分后，在（xk,yk)点，dx就化为(b-a)/n,dy=y(xk+1)-y(xk)=y[a+(k+1)(b-a)/n]-y[a+k(b-a)/n]，所以y'=dy/dx=[y(a+(k+1)(b-a)/n))-y(a+k(b-a)/n))] / [(b-a)/n]；把分母乘到右边，就有了系数(b-a)/n。