高数题：证明方程x^n+px+q（n为整数，p,q实数）,n为偶数时至多有两个实根,当n为奇数时之多有三个实根，谢

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=x^n+px+q
f'(x)=nx^(n-1)+p
n为偶数2k，n-1=2k-1奇数。
n=0,f(x)=px+q，p，q不同是为0，最多一个实根；若pq=0,f(x)=0求它的根没意思。
n≠0,f'(x)=nx^(n-1)+p=0,x=(-p/n)^(1/(n-1)),
n>0,f(-∞)=+∞,f(+∞)=+∞
若存在且只有f(a)=0,只有一个实根；
若存在f(a)<0，有两实根。
n<0，f(-∞)=-∞,f(+∞)=-∞
若存在且只有f(a)=0,只有一个实根；
若存在f(a)>0，有两实根。
当n为奇数2k+1，n-1=2k为偶数。
n=1时，f(x)=(p+1)x+q，显然成立。p+1,q不同时为0，否则f(x)=0；
f'(x)=nx^(n-1)+p=0，(2k+1)x^(2k)+p=0,x^(2k)=-p/(2k+1)，
-p/(2k+1)为正，有两个解，曲线最多可能有三个单调区间，也就最多有3个实根。
-p/(2k+1)为负，无解。在定义域范围内，单调性一致，最多两个解。

反正就这么个意思，n为奇数部分分类不够严谨，你可以再看看。

Answer 2

题目错误：例如：（x-1）*（x-2）*（x-3）*(x-4)=0，n=4,就有4个实根！
（x-1）*（x-2）*（x-3）*(x-4)*（x-5）=0,n=5,就有5个实根！本回答被网友采纳