f(x)是次数n(n>=2)的系数为正整数的一个多项式，且根为实数，证明f(x)在有理数域上不可约

Question

如题所述

Answer 1

结论是不对的，比如p=q=0的时候有n个实根，因为习惯上多项式的根是要计重数的，所以需要适当修正一下：
当n为偶数时至多有两个 不同的 实根，当n为奇数至多有三个 不同的 实根。

首先，若f(x)=x^n+px+q至少有四个不同的实根，利用两次Rolle定理可得f''(x)至少有两个不同的实根，但是f''(x)=n(n-1)x^{n-2}只有x=0一个零点，矛盾。
当n是偶数时，若f(x)至少有三个不同的实根，用一次Rolle定理得f'(x)至少有两个不同的实根，然而f'(x)=nx^{n-1}+p单调，最多只有一个零点，矛盾。