有道题不知道泰勒公式展开到哪里？求大神解答，水的就别来了谢谢

Question

极限x趋近于0时，3x-4sinx+sinxcosx与x^n同阶无穷小，求n
不知道用泰勒公式应该展开到第几项？

Answer 1

极限x趋近于0时，
3x-4sinx+sinxcosx
=3x-4sinx+sin2x/2
=3x-4(x-x^3/6+x^5/120)+(1/2)(2x-(2x)^3/6+(2x)^5/120)
=3x-4x+(2/3)x^3+x^5/120+(x-(2/3)x^3+16x^5/120)
=(17/120)x^5~x^n
n=5
泰勒公式展开到x^5追问

请问为什么要展开到x^5项呢？我觉得sin展开到x^1,cos展开到x^2项再乘开就能约去3x了

追答

这就不正确了（系数就不对了）。
sin展开到x^1,cos展开到x^2项，乘开就能约去3x，这只是“巧合”。
必须要展开到足够高的幂次。

追问

请问这个系数是什么意思呢？还有怎么判断需要展开到多高的幂次呢？

还在吗？😊

追答

各项展开中x的幂次应该相同。否则会只计入部分x的幂次而丢失另一部分，这样他的系数就不对了。比如说sinxcosx得到了x的三次方。而前面的3x部分只计算到x的一次方，这样x的三次方的系数就不对了。