高二数学 抛物线难题 求解（以高二程度解答）

Question

已知坐标平面上y平=4x 抛物线上两点A B 满足<AFB＝2/3π 弦AB之中点M在准线上投影点为M‘ 求MM’/AB MIN值

Answer 1

根据抛物线的性质，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以设A，B到准线的摄影点为A‘，B’ ，所以AF=AA‘，BF=BB’， M为AB中点，所以MM‘=1/2（AA’+BB‘），所以将问题转化为一个有着60度角的三角形，60度角相邻的两边之和与60度角对边的比值问题，根据余弦定理，AB^2=AF^2+BF^2-2AF*BF*cos角AFB。角的大小又是已知的，答案便出来了。即AF=BF时最小，再根据y=x^2联立方程，答案为1追问

所以嘞？ 这不是废话吗？ 这都不知道我学什么抛物线啊？

追答

我刚刚又加了东西

追问

请注意，我问的是MIN值，所以点A、点B是两动点，更何况1并不是MIN值，我可以先说答案，是根号3/3，如果可能的话，我希望能有详细的解答过程。

另外，我对刚才的发言表示歉意，有点过於急躁了，为示诚意，如果你能夠解出这一题，那你将列为第一顺位。

Answer 2

1
设抛物线的弦AB使角AFB=2/3π ，A(x',y')B(x'',y'')
y^2=4x,2p=4,p/2=1,焦点F（1,0)准线x=-1
在准线x=-1上点C(-1,y'),D(-1,y'') ,M'(-1,y'/2+y''/2)
AC||BD,
根据抛物线定义，AF=AC,BF=BD,
角AFC=ACF=AFO
角BFD=BDF=DFO
CFD=（2π -2π /3)/2=2π /3
MM'=(AC+BD)/2=AF+BF
2
角AFB=2π /3，
cosAFB=(AF^2+BF^2-AB^2)/2AFBF
-1/2=(AF^2+BF^2-AB^2)/2AFBF
AF^2+BF^2+AFBF=AB^2
MM'/AB=(AF+BF)/√（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+ AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)=(BF/AF)/[1+(BF/AF)^2+(BF/AF)]
令BF/AF=t
y=(1+t^2+t)/t,y随着t单调递增
y'=-1/t^2+1
t=1时，y'=0,y最小值3
所以AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)在AF=BF时有极值1/3
AF=BF时，MM'/AB=√(1+1/3)=2√3/3
MM'/AB极值2√3/3追问

答案是错的，根号3/3是答案
1.中
角CFD=π /3
MM'=(AF+BF)/2
2.中
y'是什么意思？？？ 请解释。

算了，反正我会算了， 多谢。

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Answer 3

第二条方法没有错误，出错是从这一步开始：MM'/AB=(AF+BF)/√（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+ AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
，正确应为MM'/AB=(AF+BF)/√2（AF^2+BF^2+AFBF)=√[1+AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
其他无误追问

正确应为MM'/AB=(AF+BF)/√2（AF^2+BF^2+AFBF)=√2[1+AFBF/(AF^2+BF^2+AFBF)]
你要订正也请你检查一下 OK
不过 还是很谢谢你帮我检查算式。Thank you very much!
另外，你知道y'是什么意思吗？