怎么求非齐次线性方程组的基础解系。？

Question

如题所述

Answer 1

要求非齐次线性方程组的基础解系，可以通过以下步骤进行：

1. 解齐次线性方程组：首先，求解对应的齐次线性方程组。这是由非齐次方程组去掉常数项后得到的方程组。求解齐次方程组可以得到齐次方程组的基础解系，记为 {x1, x2, ..., xn}。

2. 特解求解：随后，求解非齐次方程组得到一个特解，记为 x0。这可以通过代入法、克莱姆法则或高斯消元法等方法得到。

3. 线性组合：将特解与齐次方程组的基础解系进行线性组合。这意味着将特解与齐次方程组的解向量按照一定系数进行加权求和。

4. 得到基础解系：将线性组合得到的向量集合作为非齐次线性方程组的基础解系。这个集合中的每个向量都是非齐次方程组的解。

需要注意的是，非齐次线性方程组的解可能不唯一，因为特解的选择有多种可能。然而，基础解系是非齐次方程组所有解的最小线性无关集合。

另外，如果非齐次线性方程组的系数矩阵满秩，并且非齐次项不在该系数矩阵的列空间中，那么非齐次方程组有唯一解。在这种情况下，基础解系为空集。

Answer 2

这需要两个结论:
设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成：
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关
所以 k1=k2=...=kn-r=0
进而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.