关于高数的常系数非齐次线性微分方程的疑问

Question

对于f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pm(x)sinωx]型的微分方程，在取得特解y*=x^kQm(x)e^(λ+iω)x，为什么k只能取0和1，没有2？而不像解f(x)=Pm(x)eλx型的微分方程那样，应该也有二重根的情况吧！请高手赐教。

Answer 1

你可以注意到，k的取值与特征方程的根有关。如果是实根，会有2重根，就是后者的情况。现在这种类型，是看\lambda+-iw是不是特征方程的根，是复根。既然特征方程是2次的，复根不可能是重根，所以只会有：是复根，或不是根，故k=1，0追问

还是不懂，“既然特征方程是2次的，复根不可能是重根”怎么理解，谢谢

追答

代数学表明，一个n次方程，在复数域上存在n个根。所以2次方程会有两个根，而复根总是成对出现，所以要么一对复根，要么两个实根。一对复根互为共轭，不会相等。