若f(x)=x^4+4x³+6px²+4qx+r恰可被q(x)=x³+3x²-x-3整除。求(p+q)^r的值。

Question

如题所述

Answer 1

解，设m为整数，由二项式定理得：
x^4+4x³+6px²+4qx+r≡(x-m)(x³+3x²-x-3)
≡x^4+(3-m)x^3-(3+m)x^2+(3-m)x+3m
所以，4=3-m
6p= -（3+m）
4q=m-3
r=3m
m=-1
p=-1/3
q=-1
r=-3
p+q)^r=（-1/3-1）^(-3)=-(4/3)^(-3)

Answer 2

f(x)=x^4+4x³+6px²+4qx+r恰可被q(x)=x³+3x²-x-3整除
6p+1=3 p=2/3
4q+3=-1 q=-1
r=-3
(p+q)^r=(2/3-1)^(-3)=-27追问

为什么6p+1=3 4q+3=-1 ？

追答

x³+3x²-x-3 L x^4+4x³+6px²+4qx+r X
x^4+3x³-x²-3x
x³+(6p+1)x²+(4q+3)x+r 1
x³+3x²-x-3
0
x³+(6p+1)x²+(4q+3)x+r =x³+3x²-x-3
6p+1=3 p=2/3
4q+3=-1 q=-1
r=-3
(p+q)^r=(2/3-1)^(-3)=-27

Answer 3

有两种方法：
一种是列大除式，和除法一样，会得到：
6p-9=3
4q-3=9
r=3
所以：p=2 q=3 r=3

一种是用待定系数法：
根据次数可以设（x^3+3x^2+9x+3）（ax+b)=x^4+4x^3+6px^2+4qx+r
会麻烦一点，但能解出来。