余数定理公式是：f(x)=(x-a)q(x)+r。解释为：余数定理是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是 f(a)。
余数定理是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是 f(a)。若f(a)=0，则(x-a)为多项式f(x)的因式。例如，(5x³+4x²-12x+1)/(x-3) 的余式是 5·3³+4·3²-12·3+1=136。
证明：为了证明这个定理，我们用x-a去除多项式f(x)，得到商q(x)和余式r(x)。这个余式是次数低于除数x-a的多项式，即是零次的，因此r(x)=r是个常数。于是f(x)=(x-a)q(x)+r 。为了得到常数r，把x=a带入这个等式，得到f(a)=r余数定理证毕 。
例题：一次项系数不为1。例：求的余数。解：在这里，使除式为的，所以余数为。除式次数大于1。例1：求的余式。解：由于除式是2次多项式，所以设余式为（余式的次数要比除式低1）。的解为或，代入恒等式的两边得：解得。故余式为。
余数的性质四大定理：
1、可加性。a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数。
2、可减性。a与b的差除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23－16)除以5的余数等于3－1=2。注意：当较大数的余数小于较小数的余数时，所求余数等于c减去余数之差。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以(23－19)的余数等于5－(4－3)=4。
3、可乘性。a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
4、乘方性。如果a与b除以m的余数相同，那么a^n与b^n除以m的余数也相同，但不一定等于原余数。