反函数定理怎么证明？

Question

如题所述

Answer 1

反函数定理有许多证明。在教科书中最常见的证明依靠了压缩映射原理，又称为巴拿赫不动点定理。（这个定理还可以用于证明常微分方程的存在性）。由于这个定理在无穷维（巴拿赫空间）的情形也适用，因此它可以用来证明反函数定理的无穷维形式。

另外一个证明（只在有限维有效）用到了紧集上的函数的极值定理。还有一个证明用到了牛顿法，它的好处是提供了定理的一个有效的形式。也就是说，给定函数的导数的特定界限，就可估计函数可逆的邻域的大小。

扩展资料

反函数和逆函数是一样的，反函数就是逆函数，数学中没有反映射，只有可反映射。

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的； 

函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。