非齐次线性方程组的特解η与它对应的齐次线性方程组(有的教材称为“导出组”)的基础解系是线性无关的。
下面用反证法证明它:
假设η与ξ1,ξ2,……,ξs线性相关,
∵ξ1,ξ2,……,ξs线性无关,
∴η可由ξ1,ξ2,……,ξs线性相表示,
∴存在一组实数k1,k2,……,ks,使得
η=k1·ξ1+k2·ξ2+……+ks·ξs
两边同时乘以A
Aη=k1·Aξ1+k2·Aξ2+……+ks·Aξs
Aη=b
Aξ1=0
Aξ2=0
……
Aξs=0
∴b=0
显然矛盾。
∴假设错误,
∴η与ξ1,ξ2,……,ξs线性无关。
进而,η与η+ξ1,η+ξ2,……,η+ξs线性无关,
而这些向量都是Ax=b的解,
所以,Ax=b有n-r+1个线性无关的解。
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