线性代数中,为什么有非齐次方程组的特解是线性无关的？

Question

如题所述

Answer 1

非齐次线性方程组的特解η与它对应的齐次线性方程组(有的教材称为“导出组”)的基础解系是线性无关的。

下面用反证法证明它：
假设η与ξ1，ξ2，……，ξs线性相关，
∵ξ1，ξ2，……，ξs线性无关，
∴η可由ξ1，ξ2，……，ξs线性相表示，
∴存在一组实数k1，k2，……，ks，使得
η=k1·ξ1+k2·ξ2+……+ks·ξs

两边同时乘以A
Aη=k1·Aξ1+k2·Aξ2+……+ks·Aξs
Aη=b
Aξ1=0
Aξ2=0
……
Aξs=0

∴b=0
显然矛盾。

∴假设错误，
∴η与ξ1，ξ2，……，ξs线性无关。

进而，η与η+ξ1，η+ξ2，……，η+ξs线性无关，
而这些向量都是Ax=b的解，
所以，Ax=b有n-r+1个线性无关的解。