(3)当x>0时,要证明的不等式两边都是正数
∴只要证(1+x/2)²>1+x
只要证1+x²/4+x>1+x
显然,上式成立
∴原不等式成立
(4)设f(x)=tanx-x-x³/3,则
f'(x)=1/cos²x-1-x²
=1+tan²x-1-x²
=(tanx+x)(tanx-x)
∵在x∈(0,π/2)内,有tanx>x>0,得f'(x)>0,∴在(0,π/2)上f(x)单增
∵f(0)=0,∴f(x)>0,即tanx>x+x³/3
∴只要证(1+x/2)²>1+x
只要证1+x²/4+x>1+x
显然,上式成立
∴原不等式成立
(4)设f(x)=tanx-x-x³/3,则
f'(x)=1/cos²x-1-x²
=1+tan²x-1-x²
=(tanx+x)(tanx-x)
∵在x∈(0,π/2)内,有tanx>x>0,得f'(x)>0,∴在(0,π/2)上f(x)单增
∵f(0)=0,∴f(x)>0,即tanx>x+x³/3
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