高等数学试题一、单项选择题(每小题1分，共30分)1、函数f(x)=

Question

如题所述

Answer 1

高等数学试题
一、单项选择题(每小题1分，共30分)

1、函数f(x)=的定义域是

　　A、[－1，1]　B、(－2，2)

　　C、(－∞，－1)∪(1，＋∞)

　　D、(－∞，＋∞)

2、下列函数中既是有界函数又是偶函数的是

A、xarcsinx　B、arctgx

C、x2＋1　D、sinx＋cosx

3、函数y=ex－1的反函数是

A、y=lnx＋1　B、y=ln(x－1)

C、y=lnx－1　D、y=ln(x＋1)

4、xsin=

A、∞　B、0　C、1　D、不存在

5、某商品的需要量Q是价格P的函数Q=a－bP(a>0，b>0)，则需求量Q对价格P的弹性是

　　A、b　B、

　　C、　D、

6、曲线在t=0处的切线方程是

　　A、

　　B、

　　C、y－1=2(x－2)

　　D、y－1=－2(x－2)

7、函数y=|sinx|在x=0处是

A、无定义　B、有定义，但不连续

C、连续，但不可导　D、连续且可导

8、设y=lnx，则y″=

　　A、　B、

　　C、　D、

9、设f(x)=arctgex，则df(x)=

　　A、　B、

　　C、　D、

10、=

A、－1　B、0　C、1　D、∞

11、函数y=ax2＋c在区间(0，＋∞)内单调增加，则a，c应满足

A、a<0，c=0　B、a>0，c任意

C、a<0，c≠0　D、a<0，c任意

12、若ln|x|是函数f(x)的原函数，a≠0,那么下列函数中，f(x)的原函数是

A、ln|ax|　B、

C、ln|x＋a|　D、

13、设a≠0，则∫(ax＋b)100dx=

　　A、

　　B、　

　　C、

　　D、100a(ax＋b)99

14、∫xsinxdx=

　　A、xcosx－sinx＋c

　　B、xcosx＋sinx＋c

　　C、－xcosx＋sinx＋c

　　D、－xcosx－sinx＋c

15、函数f(x)=x2在[0，2]区间上的平均值是

A、　B、1　C、2　D、

16、=

　　A、＋∞　B、0　C、　D、1

17、下列广义积分中收敛的是

　　A、　B、

　　C、　D、

18、方程x2＋y2＋z2＋2x－4y=1表示的空间图形为

　　A、平面　B、直线

　　C、柱面　D、球面

19、函数z=arcsin(x2＋y2)的定义域为

　　A、x2＋y2<1　B、x2＋y2≤1

　　C、x2＋y2≥1

　　D、|x|≤1，|y|≤1

20、极限=

A、1　B、2　C、0　D、∞

21、函数f(x，y)=

在原点

　　A、连续　B、间断

　　C、取极小值　D、取极大值

22、已知f(x，y)的两个偏导数存在，且f′x(x，y)>0，f′y(x，y)<0，则

A、当y不变时，f(x，y)随x的增加而增加

B、当y不变时，f(x，y)随x的增加而减少

C、当x不变时，f(x，y)随y的增加而增加

D、上述论断均不正确

23、设z=exsiny，则dz=

A、ex(sinydx＋cosydy)　B、exsinydx

C、excosydy　D、excosy(dx＋dy)

24、已知几何级数收敛，则

　　A、|q|≤1，其和为

　　B、|q|<1，其和为

　　C、|q|<1，其和为

　　D、|q|<1，其和为aq

25、是级数收敛的

A、必要条件　B、充分条件

C、充分必要条件　D、无关条件

26、下列级数中绝对收敛的是

A、　B、

C、　D、

27、幂级数的收敛半径为

A、1　B、　C、2　D、0

28、微分方程y3＋(y′)6＋xy3＋x4y2=1的阶数是

A、1　B、2　C、3　D、6

29、微分方程的通解为

A、y=±1　B、y=sinx＋c

C、y=cos(x＋c)　D、y=sin(x＋c)

30、微分方程满足初始条件y(0)=0的特解为

A、y=cosx－1　B、y=cosx

c、y=sinx　D、y=－cosx＋1

二、填空题(每空2分，共20分)

1、a，b为常数，要使

，则b=　(1)　。

2、设由y=sin(x＋y)确定隐函数y=y(x)，则dy=　(2)　。

3、设当x→0时与ax是等价无穷小，则常数a=　(3)　。

　　4、=　(4)　。

5、=　(5)　。

6、设f(x,y)=，则f′x(1，2)=　(6)　。

7、交换积分顺序

=　(7)　。

8、函数e－2x的麦克劳林级数中xn的系数为　(8)　。

9、微分方程y″－2y′＋5y=0的通解为　(9)　。

10、函数y=lnx在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=　(10)　。

三、解答题(每小题5分，共30分)

1、求.

2、设y=cos2e－3x,求y′.

3、求∫x2e－xdx.

4、求到两点A(1，0，－1)，B(3，－2，1)距离相等的点的轨迹，并指出该轨迹的名称.

5、判断下列级数的敛散性：

(1)；(2).

6、求微分方程满足初始条件y(0)=0的特解.

四、(本题8分)

设平面图形由曲线xy=1与直线y=2，x=3围成，求

(1)平面图形的面积S

(2)此平面图形绕X轴旋转所成的旋转体体积V

五、(本题8分)

某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元，若生产X单位甲产品，生产y单位乙产品的总费用为20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100，试求出甲、乙两种各生产多少时取得最大利润。

六、(本题4分)

求证方程x－sinx－1=0在区间~,[,2]内有唯一零点。

　

参考答案

一、选择题(本题共30分)

1.B　2.A　3.D　4.C　5.C

6.A　7.C　8.D　9.B　10.A

11.B　12.A　13.C　14.C　15.A

16.D　17.C　18.D　19.B　20.B

21.B　22.A　23.A　24.C　25.A

26.D　27.B　28.C　29.D　30.D

二、填空题(每小题2分，共20分)

1、1

2、

3、

4、e4－1

5、arctgx＋ln(1＋x2)＋c

6、

7、

8、

9、ex(C1cos2x＋C2sin2x)

10、e－1

三、(每小题5分，共20分)

1、解　原式=

　(3分)

=1(2分)

2、解　y′=2cose－3x·(cose－3x)′

(2分)

=2cose－3x(－sine－3x)·(e－3x)′

(2分)

=3sin(2e－3x)·e－3x(1分)

3、解　原式=－∫x2de－x

　　=－x2e－x＋2∫xe－xdx(2分)

=－x2e－x－2xe－x＋2∫e－xdx

=－x2e－x－2xe－x－2e－x＋c(2分)

=－(x2＋2x＋2)e－x＋c(1分)

4、解　设点(x,y,z)到A，B距离相等，则

　　

(2分)

两边平方　并化简得

　　2x－2y＋2z－6=0(2分)

该轨迹称为平面(1分)

5、解：(1)∵

而等比级数收敛，

　　∴原级数收敛(3分)

(2)∵=1≠0，

∴原级数发散。(2分)

6、解 原方程可化为，

即(1分)

积分得(2分)

以x=0,y=0代入上式，

　　求得c=0。(1分)

∴所求特解为y=－1(1分)

(注：也可用一阶线性方程求解)

四、(本题8分)

解：(1)S=(3分)

=5－=5－ln6(1分)

(2)V=(3分)

=(1分)

五、(本题8分)

解：总收入为40x＋60y，总利润为

z=40x＋60y－(20x＋30y＋0.1(2x2－2xy＋3y2)＋100)=20x＋30y－0.2x2＋0.2xy－0.3y2－100(2分)

令(2分)

解得　x=90,y=80(2分)

而=－0.4,=0.2,

　　=－0.6

△=0.22－(－0.4)·(－0.6)<0，　　而=－0.4<0

∴x=90,　y=80为极大值点

因极值点唯一，故它就是最大值点。(2分)

答：当甲产品生产90单位，乙产品生产80单位时利润最大。

六、(本题4分)

证：设f(x)=x－sinx－1，

　　在≤x≤2上连续，

∵f()=－2<0,

　　f(2)=1－sin2>0，

∴f(x)在[,2]内有零点。(2分)

又f′(x)=1－cosx>0(<x<2)

∴f(x)严格单调上升，∴f(x)只有唯一的零点。(2分)