复合函数的单调性可以通过以下步骤进行判断：
1、确定函数的定义域：首先确定复合函数的定义域，即确定使得复合函数有意义的自变量的取值范围。
2、求出函数的导数：对复合函数进行求导，得到导函数。可以使用链式法则或其他适当的求导方法来求导。
3、判断导函数的符号：根据导函数的符号来判断函数的单调性。可以通过以下规则进行判断：
（1）如果导函数在定义域内始终大于0，即导函数恒大于0（导数大于0），则函数在该定义域上单调递增。
（2）如果导函数在定义域内始终小于0，即导函数恒小于0（导数小于0），则函数在该定义域上单调递减。
（3）如果导函数在定义域内既有大于0的部分又有小于0的部分，则函数在该定义域上不是单调函数。
4、注意特殊点和间断点：需要注意函数定义域内的特殊点，如驻点、拐点等，并结合导函数的符号来判断函数在这些点的单调性。同时，还需要考虑函数定义域上的间断点和边界点，因为在这些点附近函数的单调性可能发生变化。
需要注意的是，以上方法适用于一般的复合函数判断单调性，对于特殊或复杂的函数，可能需要更加详细的分析和计算才能得出准确的结论。在实际问题中，也可以借助数学软件或绘制函数图像来辅助判断函数的单调性。
复合函数具有以下性质
1、结合律：对于三个函数 f(x), g(x) 和 h(x)，若复合函数的定义域合适，则 (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)。复合函数的结果不依赖于函数的组合方式。
2、恒等函数：存在一个称为恒等函数的特殊函数 I(x)=x，它使得对于任意函数 f(x)，有 f ∘ I = I ∘ f = f。即任何函数和恒等函数的复合函数等于原函数本身。
3、不满射性质：如果函数 f(x) 的值域不完全覆盖其定义域，则复合函数 f(g(x)) 的值域也不会完全覆盖 g(x) 的定义域。
4、反函数性质：如果一个函数 f(x) 和其反函数 f^(-1)(x) 都存在，那么 f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x。即一个函数和其反函数的复合函数等于恒等函数。
5、逆序复合：对于两个可逆函数 f(x) 和 g(x)，如果复合函数 f(g(x)) 和 g(f(x)) 都有定义，则 f(g(x)) 和 g(f(x)) 一般不相等。换句话说，复合函数的顺序是重要的。