利用反证法：
第（2）问的假设与第（1）问矛盾，最后导出（1）（2）都是线性无关的
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第1个回答 2020-05-20
(1) 把A视作n个长度为n的行向量竖排的组合，由于A的秩为r，因此这n个向量张成的线性空间的维数为r，而由于Aξi=0，因此ξ1, ξ2, ... ξn-r与所有A中行向量的内积均为0，即与它们正交，因此ξ1, ξ2, ... ξn-r是n维空间里去掉A中r个线性无关向量剩下的互相线性无关的向量，它们与A中r个线性无关向量构成了n维空间的一组基。由于Aη*=b，b一定有非零元素，因此η*至少与一个A中行向量内积非零。现在利用反证法：若η*与ξ1, ξ2, ... ξn-r线性相关，则一定可以用ξ1, ξ2, ... ξn-r的线性组合表示η*，这时任意A中行向量均与ξi正交，因此Aη*=0，与Aη*=b矛盾，因此必定η*与ξ1, ξ2, ... ξn-r线性无关。
(2) 反证法：若η*与ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*线性相关，则η*, ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*张成的空间维数最多为n-r，而由于η*, ξ1, ξ2, ... ξn-r均可以被η*, ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*线性表示，因此η*, ξ1, ξ2, ... ξn-r张成的线性空间的维数小于等于n-r，但是由(1)知η*, ξ1, ξ2, ... ξn-r张成的线性空间的维数为n-r+1，矛盾。因此η*与ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*线性无关。本回答被提问者采纳
(2) 反证法：若η*与ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*线性相关，则η*, ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*张成的空间维数最多为n-r，而由于η*, ξ1, ξ2, ... ξn-r均可以被η*, ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*线性表示，因此η*, ξ1, ξ2, ... ξn-r张成的线性空间的维数小于等于n-r，但是由(1)知η*, ξ1, ξ2, ... ξn-r张成的线性空间的维数为n-r+1，矛盾。因此η*与ξ1 + η*, ξ2 + η*, ... ξn-r + η*线性无关。本回答被提问者采纳
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