如何证明柯西不等式成立？

Question

如题所述

Answer 1

1、二维形式：

(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd)^2

等号成立条件：ad=bc

2、三角形式：

√（a^2＋b^2)＋√（c^2＋d^2)≥√［（a－c)^2＋（b－d)^2]

等号成立条件：ad=bc

3、向量形式：

｜α｜｜β｜≥｜α·β｜，α＝（a1,a2,…，an)，β＝（b1,b2,…，bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α＝λβ（λ∈R）。

4、一般形式：

（∑ai^2)(∑bi^2)≥（∑ai·bi)^2

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…＝an:bn，或ai、bi均为零。

1.柯西不等式的特点：左边是平方和的积，简记为方和积，右边是乘积和的平方。

2.柯西不等式的直接应用。

例：已知x,y满足x+3y=4,求4x2+y2的最小值。

分析：

方法一，大家看到该题后的直接想法可能是换元，把关于x,y的双元变量变换为关于x或y的一元变量问题，再借助于二次函数的思想可以解决。

方法二，由于其结构特征与柯西不等式的形式非常相似。