设f(x)=x2+px+q,p.q属于R M={X|X=f(x)}N={X|X=f[f(x)]}

Question

求:证明M是N的子集 当M={-1,3}时，求N

Answer 1

证:对于任意
y属于M，则有y=y^2+py+q，从而f[f(y)]=(y^2+py+q)^2+p(y^2+py+q)+q
=y^2+py+q=y
所以:y也属于N。
从而有M是N的子集。
当M={-1,3}时知-1,3是方程x^2+(p-1)x+q=0的两个根，由韦达定理知:p=
-1，q=-3
此时f(x)=x^2-x-3，f[f(x)]=x^4-2x^3-6x^2+7x+9。解方程x^4-2x^3-6x^2+6x+9=(x+1)(x-3)(x^2-3)=0
所以N={-1，3，根3，负根3}