请教高中数学问题，求高手解答，要有详细步骤哦~

Question

如题所述

Answer 1

设函数f(x)=x^2+px+q(p,q∈R)，A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|f(f(x))=x，x∈R}，(1)证明：A⊆B；(2)若A={-1，3}，求B

(1)证明：∵函数f(x)=x^2+px+q(p,q∈R)，A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|f(f(x))=x，x∈R}，
∵x∈A，x=f(x)，∴f(x) ∈A，
∴f[f(x)]=f(x)=x，即x∈B，
∴A⊆B；
(2)解析：∵A={x|f(x)=x}={x|x^2+px+q=x}={x|x^2+(p-1)x+q=0}={-1，3}
∴-1，3是方程x^2+(p-1)x+q=0的根
由韦达定理知x1+x2=1-p=2；x1x2=q=-3
∴p=-1，q=-3，f(x)=x^2-x-3
∴B={x|f[f(x)]=x}={x|f(x^2-x-3)=x}={x|(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x}
化简可得，(x^2-x-3)^2-x^2=0
∴(x^2-3)(x^2-2x-3)=0
∴x=√3或x=-√3或x=3或x=-1
∴B={√3,−√3,−1,3}