设函数f(x)=x^2+px+q(p,q∈R)。A={x丨x=f(x),x∈R},B={x丨f[f(x)]=x,x∈R}.⑴证明 A是B的子集

Question

2）当A={-1,3}时，求B.

Answer 1

(1).f(f(x))=(x²+px+q)²+p(x²+px+q)+q
取A中任意元素a,有a=f(a),即a²+pa+q=a
f(f(a))=a²+pa+q=a
∴a也属于B ∴A是B的子集
(2).x2+px+q=x有2解{-1,3}
x²+(p-1)x+q=0===>p-1=-(-1+3)=-2,q=-1*3=-3===>p=-1,q=-3
∴f(x)=x²-x-3===>f[f(x)]=（x²-x-3)²-(x²-x-3)-3=x
可以得: x²-x-3=-1或3===>x²-x-2=0 或x²-x-6=0
x=2或x=-1 或 x=3或x=-2
∴B={-1,3,-2,2}

Answer 2

证明：任取x∈A，则有：f（x）=x，……………………………（1）
两边取f 得，f（f（x））=f（x）……………………… （2）
由（1）和（2）得：f（f（x））=x
∴x∈B
∴A是B的子集。

注：我这里给出的是一般性的证明。从我的证明中可见，条件“设f(x)=x^2+px+q(p,q∈R)”可以改成“已知定义在实数集上的函数f（x）”，也就是说此题的结论，对于定义在实数集上的任意函数f（x）都是正确的。