求解一道概率题

Question

设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，D（Xi）=δi^2，δi不等于0，i=1,2…,n。又∑（i从1到n）ai=1，求ai(i=1,2…,n)，使∑（i从1到n）aiXi的方差最小。

答案提示用构造拉格朗日函数L=∑（i从1到n）（aiδi)^2+λ（∑（i从1到n）ai-1)=0；
∑（i从1到n）ai=1。然而不会解离散型变量的拉格朗日的这个方程。。

Answer 1

因为X1，X2，…，Xn相互独立， 所以
D(∑（i从1到n）aiXi) = ∑（i从1到n）D(aiXi) = ∑（i从1到n）ai^2 D(Xi) = ∑（i从1到n）ai^2 δi^2

设 L(a1,...,an,λ) = ∑（i从1到n）（aiδi)^2+λ（∑（i从1到n）ai-1)，
当给定 a1,...,a(i-1), a(i+1),..., an, λ时， L是ai的二次函数，且开口向上。
于是在最小值处， 有：
下面用 dL/dai 表示偏导数。
dL/dai = 2ai δi^2 + λ = 0 , i = 1,...,n
==> -λ/2 = a1 δ1^2 = a1/(1/ δ1^2) = ....= an/(1/ δn^2)
= (a1 + ....+an)/((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))
= 1/ ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2))
==>
ai = -λ / (2δi^2) = 1/δi^2 * (-λ/2)= 1/δi^2 / ((1/ δ1^2) + ...+(1/ δn^2)) , i = 1,2,...,n
当 ai ，i=1,...,n, 为上值时，方差最小。

Answer 2

我觉得这条题目的问法是比较经典的（经典坑人的……）

如果，他问：

若从市场上的商品中随机抽取一 件,求它是甲厂 生产的次品的概率?

那么你这个算法就正确，答案就是0.01。

但题目比较屌毛，他偏要问，发现是次品，求它是甲厂生产的概率……

请注意，“已发现是次品”，那么就是条件概率里面，全概率公式，与贝叶斯公式的结合求解了，

设A={抽到的产品是次品}
B={抽到的产品是甲厂生产的}

我们先求P(A)，没办法，谁叫我们需要P(A)呢…… （也就是抽到产品是次品的概率）

P(A)=0.02*0.5 + 0.02*0.25 + 0.04*0.25 = 0.025

然后是求 P(B|A)，即在抽到的产品是次品的条件下，该件东东是甲厂生产出来的概率：

P(B|A)= P(AB)/ P(A) = 0.02*0.5 / 0.025 = 0.4

这个才是已发现次品后，它是甲厂生产出来的概率。

一个字一个字手打的，希望能帮到你吧。