关于卓里奇数学分析第二章的一道题

Question

2.试证:
a)覆盖一个闭区间的闭区间族不必包含此闭区间的有限子覆盖
b)覆盖一个开区间的开区间族不必包含此开区间的有限子覆盖
c)覆盖开区间的闭区间族也不必包含此开区间的有限子覆盖

3.试证,如果将所有实数之集R代之以有理数集Q，把闭区间、开区间与点r属于Q之邻域理解成Q的相应子集，那么，上面所证明的三个基本引理的任一个不再成立

求教第三题应该怎么理解，所有开区间(a,b)和闭区间[a,b]都理解成
(a,b)中所有的有理数即(a,b)交Q和[a,b]交Q
是这个意思吗?

Answer 1

这里区间的意思确实不太明确，你可以按照你说的方式去理解
另一种不等价的理解方式是只承认端点也是有理数的有理数区间，当然对这题而言这个区别影响不大
这道题更大的问题在于“上面所证明的三个基本引理的任一个不再成立”，其实他的本意是说上面证明的三个引理仍然都成立，或者说都能找出相应的例子

总体来说卓里奇写书并不谨慎，书里的逻辑错误不少，所以如果是初学的话我建议不要把这本书作为唯一的教材，当成参考书学习一下里面的思想还可以追问

谢谢你，他说证明任一个不再成立其实很容易可以举出反例= =，我也不知道他要表达什么，原来是证明仍然成立，那是显然的= =，anyway,thanks

追答

抱歉，我原来的解释有误，需要澄清一下
我原以为“三个引理”是指你贴出来的第2题里的三个命题
仔细核对一下教材发现“三个引理”其实指的是2.3节中的引理
第2题的三个命题在Q上确实都可以举出例子（即这三个命题都成立），2.3节中的引理在Q上不成立，都能找到反例

Answer 2

差不多就是你说的那个意思吧，其实第3题就是想说，只在有理数范围内，关于实数系的一些定理不再成立。既然只在有理数范围内考虑问题，那么不论是区间端点a,b还是区间内的数，都只能是有理数，也就是说任何无理数都不在本题的考虑范围之内。