卓里奇数分上关于级数的一道题

Question

如题所述

Answer 1

首先, 由∑α[n]收敛, 有n → ∞时α[n] → 0.
于是存在正整数N > -p, 当n ≥ N时恒有α[n] > -1.
从而a[n]/a[n+1] = 1+p/n+α[n] > 0, 即a[n]与a[n+1]同号.
因此n ≥ N时a[n]符号恒定.

设β[n] = (a[n]/a[n+1])/(1+p/n) = 1+α[n]/(1+p/n), 则n ≥ N时β[n] > 0.
由n → ∞时1+p/n → 1, 可知β[n]-1与α[n]是等价无穷小,
进而ln(β[n])与α[n]也是等价无穷小.
而∑α[n]绝对收敛, 可知∑{n ≥ N} ln(β[n])也绝对收敛.

另一方面, n → ∞时, ln(1+1/n) = 1/n-1/(2n²)+o(1/n²),
ln(1+p/n) = p/n-p²/(2n²)+o(1/n²),
可得p·ln(1+1/n)-ln(1+p/n) = (p²-1)/(2n²)+o(1/n²),
是1/n²的同阶或高阶无穷小.
于是∑{n ≥ N} (p·ln(1+1/n)-ln(1+p/n))绝对收敛.

记b[n] = ln(n^p·a[n]).
有b[n]-b[n+1] = ln(a[n]/a[n+1])-p·ln(1+1/n) = ln(β[n])+ln(1+p/n)-p·ln(1+1/n).
由∑{n ≥ N} ln(β[n])与∑{n ≥ N} (p·ln(1+1/n)-ln(1+p/n))绝对收敛,
二者之差也收敛, 即∑{n ≥ N} b[n]-b[n+1]收敛, 也即数列b[N]-b[n]收敛.
于是b[n]收敛, 从而n^p·a[n] = e^b[n]也收敛到某个常数c.
即成立a[n] ~ c/n^p.

注: 用无穷乘积会简单一点.
可证明∏β[n]与∏((1+1/n)^p/(1+p/n))都收敛,
相除得∏((n+1)^p·a[n+1])/(n^p·a[n])收敛,
从而数列n^p·a[n]收敛.