如果一个闭曲线围成的图形的二重积分很难算出来，可以反过来用格林公式把二重积分转化成曲线积分算么？

Question

如果一个闭曲线围成的图形的二重积分很难算出来，可以反过来用格林公式把二重积分转化成曲线积分算么？还有由于对偏导数积分，比如对x积分，然后本来可能q(x,y)含有y但是对x求导时y没有了！你积分的时候怎么把y表示出来！

Answer 1

添加x轴上从(π，0)到(0，0)这一段记为s，
则s+c构成封闭的顺时针方向即负向曲线，
记s+c围成的平面区域为D，则
原式=【∫〔c〕…+∫〔s〕…】-∫〔s〕…
用格林公式得到
=-∫∫〔D〕【Q'x-P'y】dxdy-∫〔s〕…
注意在s上y=0得到
=-∫〔0到π〕dx∫〔0到sinx〕【ye^x】dy-∫〔π到0〕e^xdx
计算积分值即得。