用中值定理证明不等式：│sina-sinb│≤│a-b│ 要详细过程、、谢谢了

Question

如题所述

Answer 1

函数 f(x)=sinx在区间[a,b]上满足中值定理条件吧
所以 存在ξ∈(a,b)，使得f ' (ξ) = [f(a)-f(b)]/(a-b),即cosξ = (sina-sinb)/(a-b)
从而| (sina-sinb)/(a-b)|=|cosξ|≤1,整理即得结论

Answer 2

楼上用微分中值定理证明的方法很正确
下面提供一种不用中值定理证明的方法：

证明：

不妨设b≤a
∵∫(b→a) cos x dx = sin a - sin b
∴|sin a - sin b|
= |∫(b→a) cos x dx|
≤∫(b→a) |cos x| dx
≤∫(b→a) 1 dx
= a - b
∵b ≤ a
∴a - b= |a - b|
∴|sin a - sin b| ≤ |a - b|.

证毕