二元函数的导数怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

关于二元函数的导数如下：

设：u(x,y)=ax^m+bxy+cy^n

∂u/∂x=amx^(m-1)+by

∂^2u/∂x^2=am(m-1)x^(m-2)

∂^2u/∂x∂y=b

∂u/∂y=bx+cny^(n-1)

∂^2u/∂y^2=cn(n-1)y^(n-2)

若求u(x,y)的微分：

du=∂u/∂xdx+∂u/∂ydy

=[amx^(m-1)+by]dx+[bx+cny^(n-1)]dy

可导函数的意义：

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。

进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

拓展资料

1、x方向的偏导数：

（1）设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

（2）如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作f'x(x0,y0)或。函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。

2、y方向的偏导数：

同样，把x固定在x0，让y有增量△y，如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0,y0)。