关于不定积分的问题

Question

求:
∫e^(2lnu)du
∫(tany)^(-1)/(1+y^2)dy
∫(lnvdv)/v
∫cosx/[1+(sinx)^2]dx
∫dy/y[1+(lny)^2]

Answer 1

定积分确切的说是一个数,或者说是关于积分上下限的二元函数,也可以成为二元运算,可以这样理解∫[a,b]f(x)dx=a*b,其中*即为积分运算(可以类比简单的加减运算,只不过这时定义的法则不一样,加减运算是把二维空间的点映射到一维空间上一个确定的点,定积分也一样,只不过二者的法则不一样); 不定积分也可以看成是一种运算,但最后的结果不是一个数,而是一类函数的集合. 对于可积函数(原函数是初等函数)存在一个非常美妙的公式 ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a) 其中F'(x)=f(x)或∫f(x)dx=F(x)+c 最后附上一句,积分这一章难度较大,要学好这一章首先要把微分运算弄得很清楚,同时常用的公式也要记.而且有些定积分是不能通过牛顿-莱布尼茨公式计算的,如∫[0,∞]sinx/xdx=π/2(用留数算的),∫[0,∞]e^(-x^2)dx=√2/2(用二重积分极坐标代换算的),以上两种积分的原函数都不能用初等函数表示,因此也就不能用牛顿-莱布尼茨公式计算,当你不知道这些的时候可能花一年的功夫也没有丝毫进展.我当年就是深有感触的,我是在高一入学前的暑假自学的微积分,高一的时候遇到一个定积分∫[0,π/2]dx/√(sinx),开始不知道这是一个超越积分,所以高一只要有空余时间我就会计算这个定积分,直到高二学完伽马函数后才计算出其值为(Γ(1/4))^2/(2√(2π)),并由此得出不定积分∫dx/√(sinx)也是超越积分.常见的超越积分还有很多,尤其像那种三角函数带根号的,多半都是超越的,自学时要注意。希望可以帮到你。
补充：
这两者是从不同角度定义的不同概念。 不定积分是一个函数的全体原函数，是一个函数族（函数的集合）； 定积分是与函数有关的一个和式的极限，是一个实数。 从概念而言，这两者是完全不同的、毫无关系的，或者说是风马牛不相及的。 但是牛顿-莱布尼兹公式却把它们联系起来，这就是这两位先驱者的伟大之处，虽然在今人看起来并没有多少深奥，倒反而有人会把这两个概念混淆在一起。如果当初这两个概念也那么容易相混的话，大概等不到牛顿出生，微积分早被创立了。 牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，定积分那个极限，等于被积函数的原函数在积分区间右端点的值减去左端点的值，定积分也就与原函数有了联系，定积分之所以叫定积分大概也是因为这个原因。但是取这个名也有副作用，因为不定积分比定积分只多了一个“不”字，一些人就认为它们是一样的或者是稍有区别的，这大概也是今天这个问题被提出的原因。 建议学习高等数学的同学们，不要问不定积分与定积分有什么区别，而是把它们作为两个完全不同的概念分别学习好，再也不要搞混在一起。

Answer 2

∫e^(x^1/2)
dx
令x=y^2，然后原式=∫2ye^y
dy=2ye^y-2∫e^ydy=2(y-1)e^y，然后把y换回x去就行了。
∫(tanx)^7*(secx)^4
dx
化成1/2*∫((sinx)^2)^3/(1-(sinx)^2)^6
d((sinx)^2)
然后换元，(sinx)^2=y,然后1-y=z，再然后句非常容易做了，网上写式子不方便，自己逐项积分，一算就出来。
∫arcsin(2x)
dx
分步积分吧~~真的非常容易∫arcsin(2x)
dx=xarcsin(2x)-2x^2/(1-4x^2)^0.5然后直接就出答案了~~

Answer 3

对数恒等式。不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力。e^(2lnx)=e^(Ln(x^2))=x平方。。那么∫x平方dx=(x立方)/3 +c常数。