初三二次函数综合题

Question

已知抛物线y=ax的平方+bx+c(a大于0)的顶点是C(0,1),直线L:y=-ax+3与这条抛物线交于P,Q两点，与x轴,y轴分别交于点M和N。
1：设点P到x轴的距离为2，试求直线L的函数关系式
2：若线段MP和PN的长度之比为3:1,试求抛物线的函数关系式

(急急急急急急急急急急急，要过程）

Answer 1

1.y=-x+3 2.y=14/9x²+1
解：由题意可知 抛物线关于y轴对称，且c=1,a>0，函数式可简化为
y=ax²+1 ①
设直线L:y=-ax+3 ② 与这条抛物线交于P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)两点
1. 据题设，y₁=2 ,x₁>0，
由①②联立方程组解得 a(y-1)=(y-3)²
将y=2代入上式得 a=1,
于是得 直线的函数关系式 为 y=-x+3
2. 由题设知，M(3/a,0),N(0,3),而MP：PN＝3：1，据定比分点坐标公式得
x₁=(3/a-3×0)/(1-3)=-3/(2a)
y₁=(0-3×3)/(1-3)=9/2
点P在抛物线上，故得 9/2=a[-3/(2a)]²+1,由此得 a=14/9
于是 抛物线函数关系式 为 y=14/9x²+1