一个矩阵的特征向量的总数有多少？（大学数学问题）

Question

线性代数书上说不同的特征值有可能有不同的特征向量，那么特征向量的总数能不能超过矩阵的阶数？如果能的话，那这个矩阵在对角化的过程中就可以化为不止一个对角矩阵了阿？？？可是书上说是唯一的！
顺便问一下，对于一元高次方程，其解的个数是不是永远不会大于其最高次数？？？

Answer 1

特征向量的数目是等于这个矩阵里面的线型无关的向量的数目。

第一个问号： 是的， 特征向量的总数是不能超过矩阵的阶数， 因为根据上面所说， 这个空间的维数等于线型无关的向量的数目， 而矩阵能拥有最多的线型无关的向量的数目就等于这个矩阵的阶数了。

第二个问号:是能化为不止一个对角矩阵，唯一的是经过正交化而得出的对角矩阵。定理的名称好像叫做什么舒密特什么定理。一般叫正交化定理， 意思就是说G = A^(-1) * D * A 里面D是对角矩阵 A里面全部都是特征向量（这个例子只对于非退化方阵有效， 详细证明这里就不写了）

第三个问号：是的， 你可以多项式里面的x^n看作函数空间里面的基， 其实每个多项式就好像一个向量，但是所谓的高次方程的n是有限的， 如果是无限的话， 应该用另外一个理论解释， 因为矩阵一般是用来解决有限维空间问题的。

记得不是很准确， 3年前的知识了。希望对你有帮助。

Answer 2

特征向量的个数是这样的：
个数＝
n
－
特征矩阵的秩
就是
个数＝
n
－
r（入E
－
A
）
其中n是阶数
而不是每个矩阵都能相似对角化的
如果一个矩阵，它的特征值各不相同，那么一定可以对角化
但如果有重根，而重根数
不等于
上面式子的算出的个数
那它就不能相似对角化
比如，一个
3阶
矩阵有特征值
1
是二重根
而
r(
E
-
A
)
不等于
1
，即
特征向量个数＝3－r（E－A）不等于2
那这个3阶矩阵A就不能相似对角化
多看看书，你可以的
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汗了，还好咱们老祖宗发明的汉字中，“入”字比较像符号“入”
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选择一种生活，并有勇气坚持下去
总有一天做主角，唱大戏！

Answer 3

ξ是a属于特征值λ的特征向量。
那么
aξ=λξ，ξ≠0
这里要增加一个已知条件，设a为对称矩阵。
1、若a正定，
ξtaξ
=
ξt
λξ
=
λξtξ
＞0
2、若ξtaξ＞0，
ξtaξ
=
ξt
λξ
=
λξtξ
，推出
λ＞0，所以a正定
newmanhero
2015年8月12日10:13:13
希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 4

特征向量是有无穷多的（最简单的例子就是，若ξ是一个特征向量，则kξ（k≠0）也是一个特征向量）,只是说特征向量空间的维数总和不超过矩阵的阶数。唯一的对角矩阵是正交相似的对角矩阵，方法叫做施密特正交化法。
关于一元高次方程的解是不会超过最高次的，可以用反证法，若有n+1个实根，则会导致方程的次数至少是n+1次的（不妨设这n+1个实根为a1,a2,…，an+1,则（x-a1)(x-a2)…(x-an+1)是这个多项式的因子）本回答被提问者采纳