定积分的存在定理怎么理解

Question

尤其是第二条：函数有界且有有限个间断点，则函数有定积分。能不能简单清楚的说明一下，谢啦，最好有例子

Answer 1

1、设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2、设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

3、设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

牛顿-莱布尼茨公式在定积分中的应用：

利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。

牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。

牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。

Answer 2

如果仅限于理解（不是证明），可以用几何意义帮助理解。
例如，如下定义的分段函数f(x)：
当x《0时，f(x)=1，
当x>0时，f(x)=2，
考虑在[-1，1]上的定积分。追问

证明可以简单的解释一下吗，还有它的第二条是要求两个条件均满足，如果只满足一个条件会怎样

追答

有结论【无界则不可积】
狄里克雷函数是有无限个间断点的有界函数，查查它的可积性。

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Answer 3

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Answer 4

18讲总结的不错，而且在我看来，其对定义定理的介绍，容易理解和掌握，这个看个人喜好了。对了，你原本提的问题，需要注意，被积函数必须在闭区间连续…不然不带等号是不严格的。

Answer 5

紧集上的连续函数必定可积。