已知函数f=2^x-a/2^+x是定义在r上的奇函数 求a的值 利用函数单调性的定义，判断

Question

如题所述

Answer 1

∵f(x) = (2^x-a)/(2^x+1)是定义在r上的奇函数
∴f(0)=(2^0-a)/(2^0+1)=0
∴a=1

f(x) = (2^x-1)/(2^x+1) = (2x+1-2)/(2^x+1) = 1 - 2/(2^x+1)
∵2^x ↑
∴2^x+1 ↑
∴2/(2^x+1) ↓
∴1 - 2/(2^x+1) ↑
∴f(x)在R上单调增

利用定义证明如下：
令x1＜x2：
f(x2)-f(x1) = { - 2/(2^x2+1) }- { - 2/(2^x1+1) }
= 2/(2^x1+1) - 2/(2^x2+1)
= 2{2^x2+1-2^x1-1}/{(2^x1+1)(2^x2+1)}
= 2{2^x2-2^x1}/{(2^x1+1)(2^x2+1)}
= 2x1{2^(x2-x1)-1}/{(2^x1+1)(2^x2+1)}
∵x2＞x1
∴x2-x1＞0
∴2^(x2-x1)＞1
∴2^(x2-x1)-1＞0
又，2x1＞0，并且{(2^x1+1)(2^x2+1)}＞0
∴2x1{2^(x2-x1)-1}/{(2^x1+1)(2^x2+1)}＞0
∴f(x2)＞f(x1)，得证。