线性代数：线性方程组有解吗？

Question

如题所述

Answer 1

线性方程组是否有解，可以通过判断其增广矩阵的秩和系数矩阵的秩来确定。线性方程组 \(Ax = b\) 的系数矩阵为 \(A\)，增广矩阵为 \([A|b]\)。设 \(r(A)\) 表示矩阵 \(A\) 的秩，\(r([A|b])\) 表示增广矩阵 \([A|b]\) 的秩。
线性方程组 \(Ax = b\) 的解的情况可以通过以下方式判别：
1. 如果 \(r(A) = r([A|b])\)，则线性方程组至少有一个解。
- 如果 \(r(A) = n\)，其中 \(n\) 是未知数的个数，那么线性方程组有唯一解。
- 如果 \(r(A) < n\)，那么线性方程组有无穷多个解。
2. 如果 \(r(A) < r([A|b])\)，则线性方程组无解。
这个判别方法基于线性代数的基本定理，通常称为克莱姆法则（Cramer's Rule）或秩定理。