回答如图：
扩展资料
(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x)，其中△x→0
将sin(x+△x)-sinx展开
sinxcos△x+cosxsin△x-sinx，由于△x→0，故cos△x→1
从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x
于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x
△x→0时，lim(sin△x)/△x=1
所以(sinx)’=cosx
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第1个回答 2024-04-23
反双曲正弦函数（Hyperbolic Sine Function，记作arsinh或sinh^-1）是双曲函数家族的一部分，它是双曲正弦函数的反函数。在数学中，反双曲正弦函数arsinh(x)（或sinh^-1(x)）的定义是满足以下关系的x的值：
\[ \sinh(arsinh(x)) = x \]
其中，\(\sinh\) 是双曲正弦函数，定义为：
\[ \sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \]
求解arsinh(x)的步骤如下：
1. **已知条件：**给定一个实数 \( x \)，你需要找到一个\( z \)使得 \( \sinh(z) = x \)。
2. **代入双曲正弦函数：**将 \( x \) 代入双曲正弦的定义：
\[ x = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \]
3. **解方程：**这是一个指数方程，可以通过代数方法解决，通常需要使用数值方法，因为没有解析解。一种常用的方法是使用数值近似方法，如牛顿迭代法或二分法。
4. **数值计算：**将方程重写为关于 \( e^z \) 的方程，然后逐步逼近 \( e^z \) 的值，直到找到满足原方程的 \( z \)。
5. **得到结果：**一旦找到 \( e^z \)，取自然对数得到 \( z \)：
\[ z = \ln(e^z) = \ln(2x + \sqrt{4x^2 + 1}) \]
因为 \( \sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \)，所以 \( e^z \) 和 \( e^{-z} \) 之间的差是 \( 2x \)，加上 \( 1 \) 平方根是因为 \( (e^z)^2 - 2x(e^z) + 1 = 0 \)。
请注意，arsinh函数的定义域是所有实数，值域也是所有实数，因为双曲正弦函数是奇函数，其图像涵盖了整个实轴。本回答被网友采纳
\[ \sinh(arsinh(x)) = x \]
其中，\(\sinh\) 是双曲正弦函数，定义为：
\[ \sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \]
求解arsinh(x)的步骤如下：
1. **已知条件：**给定一个实数 \( x \)，你需要找到一个\( z \)使得 \( \sinh(z) = x \)。
2. **代入双曲正弦函数：**将 \( x \) 代入双曲正弦的定义：
\[ x = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \]
3. **解方程：**这是一个指数方程，可以通过代数方法解决，通常需要使用数值方法，因为没有解析解。一种常用的方法是使用数值近似方法，如牛顿迭代法或二分法。
4. **数值计算：**将方程重写为关于 \( e^z \) 的方程，然后逐步逼近 \( e^z \) 的值，直到找到满足原方程的 \( z \)。
5. **得到结果：**一旦找到 \( e^z \)，取自然对数得到 \( z \)：
\[ z = \ln(e^z) = \ln(2x + \sqrt{4x^2 + 1}) \]
因为 \( \sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \)，所以 \( e^z \) 和 \( e^{-z} \) 之间的差是 \( 2x \)，加上 \( 1 \) 平方根是因为 \( (e^z)^2 - 2x(e^z) + 1 = 0 \)。
请注意，arsinh函数的定义域是所有实数，值域也是所有实数，因为双曲正弦函数是奇函数，其图像涵盖了整个实轴。本回答被网友采纳
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