连续函数一定有极限吗?

Question

如题所述

Answer 1

不是。连续必有极限，有极限未必连续。

一个函数f(x)在点x0处连续必须有三个条件：

1、函数f(x)在点x0处有定义。

2、函数f(x)在点x0处有极限。

3、函数f(x)在点x0处的极限等于该点的函数值f(x0)。

这三个条件缺一不可,是判断函数在该点连续的充要条件，因此说函数有极限是函数连续的必要不充分条件。至于函数在区间上的连续，开区间两个端点处是否连续并不要求；闭区间的在左端点要求右连续，右端点要求左连续。

方法

1、利用函数连续性：

（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）。

2、恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一种：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二种：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三种：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。

3、通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

4、采用洛必达法则求极限

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

洛必达法则：符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。