周期函数的公式是怎么推导出来的？

Question

如题所述

Answer 1

周期函数的八个基本公式推导如下：

一、周期定义

一般地，如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域中的任意一个x和x+T，都有f(x+T)=f(x)。那么，函数f(x)就叫做周期函数，并且把非零常数T叫作这个函数的一个周期。

【注】一般情况下，如果一个周期函数有最小正周期的话，“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。

二、中学数学常用到的周期函数的公式

1、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则f(x+nT)=f(x)，f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。

2、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b，（注：A不等于0），都是最小正周期为T的周期函数。

3、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数，并且最小正周期为“T/|w|”。（注：A、w都不为0）

三、高中数学常见的周期函数的周期

1、（1）y=sinx ，最小正周期T=2π；

（2）y=|sinx|，最小正周期T= π。

2、（1）y=cosx，最小正周期T=2π；

（2）y=|cosx|，最小正周期T= π。

3、（1）y=tanx，最小正周期T=π；

2）y=cotx，最小正周期T=π。

4、y=Asin(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。

（注：“A”、“w”为非0常数，下同。）

5、y=Acos(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。

6、y=Atan(wx+φ)+b，最小正周期T=π/|w|。

7、常函数“y=c（c为常数）”，是以任意非零常数为周期的周期函数。

注：常函数没有最小正周期。