方程X3—3PX—q有三个实根时 p与q满足的关系

Question

如题所述

Answer 1

是 x^3-3px-q = 0 有三个实根吧？？？
令 f(x) = x^3-3px-q ，则 f '(x) = 3x^2-3p ，
要使方程有三个不同实根，必须使 f '(x) = 0 有两个不同实根，因此 p > 0 ，----------（1）
解 f '(x) = 3x^2-3p = 0 得 x1 = -√p，x2 = √p ，
容易判断函数在 x1 处取极大值，在 x2 处取极小值，
要使方程有三个不同实根，必须使 f(x1) > 0 ，且 f(x2) < 0 ，
即 (-√p)^3-3p*(-√p)-q > 0 ，且 (√p)^3-3p*√p-q < 0 ，
化为 -2p*√p < q < 2p*√p ，因此 q^2 < 4p^3 ，或者 q^2-4p^3 < 0 ，
综上，p、q 满足的关系是 ：q^2 - 4p^3 < 0 。（p > 0 的条件已蕴含其中了）