设p，q为常数，已知有且只有三个不同的实数满足方程|x²+px+q|=2，试解答下列问题：

Question

（1）求证：p²-4q=8；（2）若方程三个解恰为一个三角形三个内角的度数，试证明三角形中必有一个内角等于60°；（3）如果方程三个解正好是一个直角三角形三条边长，求p，q的值。

Answer 1

⑴方程|x²＋px＋q|＝2有且只有三个不同的实数根，说明方程x²＋px＋q＝2和x²＋px＋q＝－2有且只有一个方程有两个相等实数根，而同时另一方程有两个不相等的实数根
方程x²＋px＋q＝2的根的判别式△1＝p^2－4q＋8
方程x²＋px＋q＝－2的根的判别式△2＝p^2－4q－8
若△1＝0，则p^2－4q＝－8，从而△2＝－16＜0，与已知不符
故△2＝0，得p^2－4q＝8，此时△1＝16＞0符合题意

⑵设方程x²＋px＋q＝2的两根分别为x1、x2，由⑴知x1≠x2
∴x1＋x2＝－p，x1x2＝q－2
设方程x²＋px＋q＝－2的两根分别为x3、x4，由⑴知x3＝x4
∴x3＝x4＝－p/2
∴x1＋x2＝2x3
而x1、x2、x3是三角形的三个内角，x1＋x2＋x3＝180°
∴x3＝60°

⑶若x1、x2、x3是直角三角形三边，由⑵知x1＋x2＝2x3，故x3不可能是斜边，不妨设x2是斜边，则
∴x1^2＋x3^2＝x2^2
x3^2＝(x2－x1)(x2＋x1)
(x2＋x1)^2/4＝(x2＋x1)(x2－x1)
∴(x2＋x1)＝4(x2－x1)
5x1＝3x2
令x1＝3a，则x2＝5a，从而x3＝4a
∴p＝－(x2＋x1)＝－8a
q＝x1x2＋2＝15a^2＋2
代入p^2－4q＝8得：
64a^2－4(15a^2＋2)＝8
a^2＝4
∴a＝±2
由于x1是三角形一边长，且x1＝3a＞0
∴a＝2
∴p＝－16，q＝62本回答被提问者采纳