设曲线积分与积分路径的形状无关 则可微函数应满足

Question

如题所述

Answer 1

由平面上曲线积分与路径无关的条件可得
∂Q
∂x
＝
∂(2xy)
∂y
＝2x，从而可得
Q（x，y）=x2+C（y），
其中，C（y）待定．
因为积分与路径无关，取 （0，0）→（t，0）→（t，1），
则

∫
(t，1)
(0，0)

2xydx+Q(x，y)dy
=
∫
1
0

[t2+C(y)]dy
=t2+
∫
1
0

C(y)dy．
取 （0，0）→（0，t）→（1，t），则

∫
(1，t)
(0，0)

2xydx+Q(x，y)dy
=
∫
t
0

C(y)dy+
∫
1
0

2txdx
=
∫
t
0

C(y)dy+t．
由题设
∫
(t，1)
(0，0)

2xydx+Q(x，y)dy=
∫
(1，t)
(0，0)

2xydx+Q(x，y)dy 可知，
t2+
∫
1
0

C(y)dy=
∫
t
0

C(y)dy+t．
两边对t求导可得，
2t=C（t）+1，
所以 C（t）=2t-1，
从而 C（y）=2y-1．
故有，
Q（x，y）=x2+2y-1．

Answer 2

设P=yf(x,y), Q=xf(x,y)
应该满足Q'x-P'y=f(x,y)+xf'x(x,y)-[f(x,y)+yf'y(x,y)]=xf'x(x,y)-yf'y(x,y)=0即可

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