设f(x)在（a,b）上可导，且f'(x)在(a,b)上有界，求证f(x)在（a,b）上有界

如题所述

推荐答案 2015-02-23

f'(x)在(a,b)上有界 ==》
存在 M>0 使得 |f'(x)| <M 对任意 (a,b)中的x都成立。

设 c = (a+b)/2, 则 |f(x)| < (b-a)*M + |f(c)|对(a,b)中的x都成立。
对任意 (a,b)中的x，如果 x=c, 上式显然成里。否则，在 c 与 x 之间存在 d 使得：
f'(d)=(f(x)-f(c))/(x-c)
==》 f(x)=f(c)+f'(d)(x-c)
==> |f(x)| <=|f(c)| + M*|x-c|<(b-a)*M + |f(c)|

于是 f(x)在（a,b）上有界

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设f(x) 在 (a,b) 上可导,若 f'(x) 在 (a,b) 上有界,则 f(x) 在 (a...答：正确因为f(x) 在 (a,b) 上可导，所以f(x) 在 (a,b) 上连续，对任意x0∈（a,b）,f(x0)存在根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(x0)+f'（θ）(x-x0)，（其中θ位于x与x0之间）由 f'(x)有界，设|f'(x)|≤M，可推出f（x）≤f(x0)+M(x-x0)，即f（x）有界 ...

设f(x) 在 (a,b) 上可导,若 f'(x) 在 (a,b) 上有界,则 f(x) 在 (a...答：不用说明的啊，这里第一个式子f（x）=f(x0)+f'（θ）里面x的大前提就是在(a,b)里面。

F(x)在(a,b)上可导,F'(x) (a,b)上有界,则f(a,b)上有界答：令c=(a+b)/2,M是|F'(x)|的一个上界 |F(x)-F(c)| = |F'(ξ)||x-c| <= M|b-a|/2 注意这里不能随便用积分,因为F'(x)未必可积

设f(x)在[a,b]上可导,则f'(x)在[a,b]上有界答：不一定有界。f(0)=0 当 0<x<=1 时 f(x)=x^2sin(1/x^2)其导数无界。

数学分析问题,F(x)在(a,b)上可导,F'(x) (a,b)上有界,则f(a,b)上有界...答：导数(a,b）上有界则积分可得F（x）面积必定值。则原函数有界

若f'(x)在(a,b)内有界,则f(x)在(a,b)内有界答：正确，简单计算一下即可。

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