求旋转体体积的公式。

Question

如题所述

Answer 1

旋转体是由一个平面图像绕着平面内的一条定直线旋转一周从而生成的立体。求旋转体的体积分为绕x轴旋转的旋转体体积和绕y轴旋转的旋转体体积。本文主要介绍绕x轴旋转体体积公式。绕x轴旋转体体积公式分为2种，一种是V=（a到b积分）f（x)的平方dx；另外一种是V=（a到b积分）f（x）的平方-g（x）的平方dx。


一、绕x轴旋转体体积公式

绕x轴旋转体体积公式分为2种，一种是由曲线y=f(x)>0，直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x旋转一周的体积公式为V=[f(x)]dx；另外一种是由曲线y=f(x)，y=g(x)，f(x)g(x)，直线x=a，x=b所围成的图形绕x旋转一周的立体体积公式为V={[f(x)]-[g(x)]}dx。


二、绕x轴旋转体体积公式练习

1.求由y=x^3，x=2，y=0所围成的图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

解：根据公式得V=(x^3)^2*dx=*(1/7)(x^7)|=(128/7)

2.求由(x/a)+(y/b)=1所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。

解：分析，旋转体的体积等于x轴上方的半个椭圆y=(b/a)(a-x)以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所生成的立体的体积。

所以V=[(b/a)(a-x)]dx=2ab-(2/3)ab=(4/3)ab。