第1个回答 2022-06-19
由于最近在学数理方程，学到三维空间的偏微分方程经常要求曲线曲面积分，再次整理复习一下……
目前主要用第一型，所以只整理了第一型的公式。
简单的说一下，第一型就是针对标量的积分，第二型是针对矢量的积分。比如说，求一根绳子的重量，就是对绳子的线密度作第一型曲线积分。普通的长度面积这种都是第一型。
第二型是对矢量的积分，比如说一个力f作用在曲线运动上，f的方向可以改变，那要求这个力所做的功就涉及到f的方向转变和f作用点的位置变化，就是第二类曲线积分。类似的，求流量、磁通量等也是第二类曲面积分。
解释一下：L是积分路径，也就是曲线。T是对L的一个分割（分割点为 ），将L分成n份，每份 上任取一点 。思路是用这个点的函数值 近似这一小段上的函数值，也就是
是第i小段的长度。再对n个小段曲线求和，就是
而显然，当每个小段的长度趋向0的时候上式取等号。 表示最长的 。那么当最长的小段长度都趋向0了，肯定每一段就都趋向0了，得到我们的定义。
显然对f满足线性性质，对L满足路径可加性。
若 的方程为 ，且L是光滑曲线（即x、y、z具有连续导数且导数不同时为零）
由弧长的公式，有 简单解释一下：首先ds非常小，可以看作直线段。之后就是，对于自变量t的一小段变化dt，x(t)的变化是 。y、z同理。之后就是一个空间的勾股定理， ，稍微整理一下得到弧长公式。
此时，将x、y、z、ds使用t的表示带入积分，得到 特别的，若 的方程为 ，则有 对于极坐标方程 ，有
意思和曲线类似，将曲面分成n个小片， 表示一个小片的面积。
若 的方程为 ，且 是光滑曲面（即x、y、z具有连续偏导数且Jacobi矩阵满秩）有以下公式 其中 ， , ， ，
特别的，对于 ，有
若 为圆心在 的半径为 的球面，可作变换：
由此可得
积分顺序可以互换。