高数极限问题求解

Question

各位老师们，求这道题目的详细过程，学生拜谢

Answer 1

这个是1的无穷次方类型的极限，就是第二个重要的极限，与e有关的那个。

可以改写成[1+(n分之那一串和-n)]的(那一串和-n)分之n又乘以nx分之(那一串和-n)的形式。其中,[1+(n分之那一串和-n)]的(那一串和-n)分之n的极限等于e,而nx分之(那一串和-n)的形式=nx分之那一串和-x分之1. 过程描述起来太麻烦，看图吧。

结果是数列an前n项的几何平均数，这时候如果an有极限，结果等于这个极限，如果an是常数列，结果是1。

Answer 2

只需要应用洛必达法则求导即可求解，不用做过多的变形。

Answer 3

望采纳

Answer 4

设y=[(a1^x + a2^x +...+an^x)/n]^(1/x)
lim lny =lim 1/x [ln(a1^x + a2^x +...+an^x) -lnn]
应用罗比达法则
= (a1^x lna1 +a2^x lna2 +...+an^x lnan)/(a1^x + a2^x +...+an^x)
=(lna1 +lna2 +...+lnan)/n = ln(a1 a2 ...an)/n
y=e^(1/n ln(a1a2...an)
= n次根号(a1a2...an)