四个方法 。初三相似三角形数学，求教。

Question

如题所述

Answer 1

解：方法一. 过C作CF∥AB，交ED于F，则。
∵AB∥CF
∴∠AEM=∠CFM（两平行线平行，内错角相等）
∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），AM=CM
∴△AEM≌△CFM（AAS）
∴AE=CF（△AEM≌△CFM）
又∵EB∥FC
∴∠B=∠FCD
∵∠D=∠D（公共角相等）
∴△EBD∽△FCD（AA）
∴CF∥BE
∵BE=3AE
∴BE=3CF
∴BE∶CF=BD∶CD=3∶1
∴BC∶CD=(BD-CD)∶CD=2∶1 ；

方法二. 过A作AF∥BD，延长DE，交AF于F，则
∵AF∥BD
∴∠D=∠F（两平行线平行，内错角相等）
∴∠AEF=∠BED（对顶角相等）
∴△AEF∽△BED（AA）
∴BE∶AE=BD∶AF=3∶1
∵AM=CM，∠FMA=∠DMC（对顶角相等）
∴△AFM≌△CDM（AAS）
∴AF=CD（△AFM≌△CDM）
∴BD∶CD=3∶1
∴BC∶CD=(BD-CD)∶CD=2∶1 ;

方法三. 过C作CF∥DE，交AB于F，则。
∵CF∥ME，
∴∠AME=∠ACF（同位角相等，两直线平行）
∵∠A=∠A（公共角相等）
∴△AME∽△ACF（AA）
∴AE∶AF=AM∶AC=1∶2
∴AE∶EF=AE∶(AF-AE)=1∶1
AE=EF
同理，BF∶BE=BC∶BD，即BF∶FE=BC∶CD
∵BE=3EA
∴BE=3FE
∴BF∶FE=(BE-FE)∶FE=2∶1=BC∶CD
∴BC∶CD=2∶1;

方法四. 过M作MF∥BC，交AB于F，则。
∵MF∥BC
∴∠AFM=∠B（两直线平行，同位角相等），∠A=∠A（公共角相等）
∴△AFM∽△ABC（AA）
∴AF∶BF=1∶1,BF=(1/2)AB（△AFM∽△ABC（AA））
∴FM∶BC=AF∶AB=1:2，BC=2FM（△AFM∽△ABC（AA））
∵BE=3AE即BE∶AE=3∶1
∴BE=(3/4)AB
∴EF=BE-BF=(3/4)AB-(1/2)AB=(1/4)AB
∴BF∶EF=(1/2)AB∶(1/4)AB=2:1
同理可证△EFM∽△EBD
∴FM∶BD=EF∶EB=1∶3（△EFM∽△EBD）
∴BD=3FM
∴BC∶BD=2∶3
∴BC∶CD=BC∶(BD-BC)=2∶1。