中学数学最值题的常用解法
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：
一. 二次函数的最值公式
二次函数 （a、b、c为常数且 ）其性质中有①若 当 时，y有最小值。 ；②若 当 时，y有最大值。 。利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。
例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为 ， 。
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）根据题意得
整理得
解得 ， （不合题意，舍去）
（2）由题意知，利润为
所以当 时，最大利润为1950元。
二. 一次函数的增减性
一次函数 的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当 时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？
解：设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为 人，由题意得：
所以
设所招聘的工人共需付月工资y元，则有：
（ ）
因为y随x的增大而减小
所以当 时， （元）
三. 判别式法
例3. 求 的最大值与最小值。
分析：此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得 ，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。
解：设 ，整理得
即
因为x是实数，所以
即
解得
所以 的最大值是3，最小值是 。
四. 构造函数法
“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
例4. 求代数式 的最大值和最小值。
解：设 ， ，再令 ， ，则有
所以得y的最大值为 ，最小值为
五. 利用非负数的性质
在实数范围内，显然有 ，当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为k。
例5. 设a、b为实数，那么 的最小值为_______。
解：
当 ， ，即 时，上式等号成立。故所求的最小值为－1。
六. 零点区间讨论法
例6. 求函数 的最大值。
分析：本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
解：易知该函数有两个零点 、
当 时
当 时
当 得
当 时，
综上所述，当 时，y有最大值为
七. 利用不等式与判别式求解
在不等式 中， 是最大值，在不等式 中， 是最小值。
例7. 已知x、y为实数，且满足 ， ，求实数m最大值与最小值。
解：由题意得
所以x、y是关于t的方程 的两实数根，所以
即
解得
m的最大值是 ，m的最小值是－1。
八. “夹逼法”求最值
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
例8. 不等边三角形 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。
解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h
因为 ，所以
又因为 ，代入
得 ，所以
又因为 ，代入
得 ，所以
所以3<h<6，故整数h的最大值为5。
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