不定积分的求法与定积分的求法相同吗？

Question

如题所述

Answer 1

不定积分的求法与定积分的求法不完全相同，虽然它们都属于积分的范畴，但是它们的求法和应用场景有所不同。

不定积分是对一个函数的原函数进行求解，即找到一个函数，其导数为所求的函数。不定积分没有上下限，因此它表示的是一个函数在定义域内的一类反导数，其求解过程可以用基本积分公式、换元法、分部积分法、三角函数积分等方法。

定积分是将一个函数在一个区间上的面积求出来，其求解过程要先将区间分割成若干小区间，然后对每个小区间上的函数值乘以其对应的区间长度，最后将这些结果累加起来得到总面积。定积分有上下限，因此它表示的是函数在一个区间上的平均值或总量。其求解过程可以用牛顿-莱布尼茨公式、微元法、换元法、分部积分法、三角函数积分等方法。

虽然不定积分和定积分的求解方法有些相似，但它们的物理意义和计算过程是不同的，因此在应用中需要注意区分。

比如我们要求不定积分

和定积分

首先来看不定积分的求法。根据反函数求导法则，可以得到

因此，我们可以令

则

于是

其中C为任意常数。接下来看定积分的求法。由于cos x在区间中是连续函数，因此可以直接使用定积分的求法，即

因此，不定积分和定积分的求法是不同的。不定积分的求法基于反函数求导法则，而定积分的求法则是基于积分定义和基本性质。

Answer 2

解：
不一样：
不定积分的条件要求：1被积函数要连续
或者
2被积函数不存在第一类间断点（但可有第二类间断点）
定积分的条件：1被积函数要连续
或者
2被积函数有有限个第一类间断点
对于条件2这类问题你在脑海中画个图看看，如果是定积分即求出积分函数对应的曲线与x轴成
的面积，当有有限个第一类间断点时面积完全可求出！