定积分和不定积分的异同

Question

如题所述

Answer 1

不同：
不定积分 定积分
定义： 原函数族 分割、近似求和、取极限

“输入”： 函数f 函数f 及积分上下限a,b

“输出”结果 原函数族 实数（定积分值）
（包含积分常数）

相通：
1 变上限积分函数（即定积分值随上限变化产生的函数）即为一个原函数（加上积分常数后即为不定积分）
有些函数(如e^(-x^2))的原函数不是初等函数，也就是说不定积分写不出来。但是其定积分可以通过某些手段求得或近似求得，此时可以近似得用定积分的结果来计算原函数的某些性质，如增减性、极值、图像等等。

2 (牛顿-莱布尼茨公式）: 定积分的值可以表示为函数的任意一个原函数（可以通过不定积分来求解）在积分上下限的函数值之差。
由于这个公式的存在，我们一般是通过计算不定积分的结果来计算定积分的。

3 两种积分的存在性是相同的。由于不定积分的存在性较难讨论，我们一般是通过被积函数在任意区间上的定积分是否存在来讨论函数是否“可积”的。

Answer 2

方法都会，是基本技能，这里就差个基本理论：概念和定理。定积分和不定积分是不同的概念，前者是个数，后者是函数族。由于牛顿和莱布尼兹证明了微积分基本公式，从而明确了两者之间的联系。即定积分可以由被积函数的一个原函数在积分区间上的增量来表示。因此求定积分可以先求不定积分，即求得被积函数的一个原函数（你注意到定积分时不用写大c吗？就因为我们不用求全体原函数），再求这个原函数在积分区间上的增量。即你所说的代个数就ok了，实在是代两个数减一下。定积分和不定积分的方法的联系与区别是：一般的定积分前阶段实际就是求不定积分，似乎没区别，但注意一个要加大c，一个不加。定积分后面要代两个数减一下，也是它们的区别：因为定积分是数，而不定积分是函数族。
还要指出的是：被积函数的原函数不能用初等函数表示的时候，就不能用牛顿-莱布尼兹公式即微积分基本公式）了，也就你所说求出代个数的方法。这时就要寻求其他方法，比如数值解法等。

Answer 3

概念不同：
定积分是一个数，不定积分是一簇原函数。
计算方法相似：
定积分计算可先计算不定积分，得到一簇原函数中的任意一个，然后代入上下限，求差值即可获取定积分。

Answer 4

定积分有几分上限和几分下限，不定积分没有。定积分的值就是用不定积分得到的结果，把上限带入结果减去下限带入结果的值：（上限带入不定积分结果）-（下限带入不定积分结果）=（定积分结果）

Answer 5

不定积分的结果是一个表达式
定积分本质上是对不定积分确定一个范围而求得的值

也可以这么说。求不定积分是求一个函数，而求定积分则是某一个函数在给定条件下的值。