柯西留数定理的经典例题有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

柯西留数定理是复变函数中的一个重要概念，它是计算闭合路径上复积分的一种方法。这个定理的基本思想是，如果一个复函数在闭合路径内部有有限个奇点，那么这个闭合路径上的复积分可以通过计算围绕这些奇点的留数来得到。
以下是一些柯西留数定理的经典例题：
计算积分：∫_C (sin z) / (z^2 + 1) dz，其中C是|z| = 2的正向（逆时针）圆周路径。
解析：这个积分可以通过柯西留数定理来计算。首先，我们需要找到函数f(z) = (sin z) / (z^2 + 1)在C内部的奇点。这个函数在z = i和z = -i有两个奇点。然后，我们需要计算这两个奇点的留数。对于z = i，我们有：Res(f, i) = sin(i) / (2i) = -i / 2i = -1/2。对于z = -i，我们有：Res(f, -i) = sin(-i) / (-2i) = i / -2i = -1/2。最后，我们可以通过柯西留数定理得到积分的结果：∫_C f(z) dz = 2πi * (Res(f, i) + Res(f, -i)) = 2πi * (-1/2 - 1/2) = -πi。
计算积分：∫_C (e^z) / (z * (z - 1)) dz，其中C是|z| = 2的正向（逆时针）圆周路径。
解析：这个积分也可以通过柯西留数定理来计算。首先，我们需要找到函数f(z) = (e^z) / (z * (z - 1))在C内部的奇点。这个函数在z = 0和z = 1有两个奇点。然后，我们需要计算这两个奇点的留数。对于z = 0，我们有：Res(f, 0) = e^0 / (-1) = -1。对于z = 1，我们有：Res(f, 1) = e^1 / (0) = e。最后，我们可以通过柯西留数定理得到积分的结果：∫_C f(z) dz = 2πi * (Res(f, 0) + Res(f, 1)) = 2πi * (-1 + e) = 2πi * (e - 1)。
以上就是两个柯西留数定理的经典例题。通过这两个例子，我们可以看到，柯西留数定理提供了一种有效的方法来计算复积分，特别是当函数在积分路径内部有奇点的时候。