如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.
如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限. ⑴ 求点C的坐标；⑵ 连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB 2 ＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由； ⑶ 在直线BE上是否存在点Q，使得AQ 2 ＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.
（1）C（5，-4）（2）能，理由见解析（3）Q 1 (5, -4) Q 2 （5.84，-2.88）Q 3 （ ， ） |
| 解： ⑴ C（5，-4）；(过程1分，纵、横坐标答对各得1分) ………… 3分 ⑵ 能 …………………………………4分 连结AE ，∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°. …………5分 在△ABE与△PBA中，AB 2 ＝BP· BE , 即  , 又∠ABE=∠PBA,∴△ABE∽△PBA . ……………………………………7分 ∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . …………………8分 ⑶ 分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ 2 ＝BQ· EQ. Q点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q； ②若无两条等长，且点Q在线段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足； ③若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切⊙C于点A.设Q(  ),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： ① 当点Q 1 与C重合时，AQ 1 =Q 1 B=Q 1 E, 显然有AQ 1 2 ＝BQ 1 · EQ 1 , ∴Q 1 (5, -4)符合题意； ……………………………9分 ② 当Q 2 点在线段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90° ∴点Q 2 为AQ 2 在BE上的垂足， ……………………10分 ∴AQ 2 =  = 4.8（或 ）.∴Q 2 点的横坐标是2+ AQ 2 ·  ∠BAQ 2 = 2+3.84=5.84,又由AQ 2 ·  ∠BAQ 2 =2.88,∴点Q 2 （5.84，-2.88）,  ………………………11分③方法一：若符合题意的点Q 3 在线段EB外, 则可得点Q 3 为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.  由Rt△Q 3 BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10, 故不妨设BR=3t，RQ 3 =4t，BQ 3 =5t, ……………………12分 由Rt△ARQ 3 ∽Rt△EAB得  ， ………………………13分即  得t= ，〖注:此处也可由  列得方程 ； 或由AQ 3 2 = Q 3 B·Q 3 E=Q 3 R 2 +AR 2 列得方程 )等等〗∴Q 3 点的横坐标为8+3t= ， Q 3 点的纵坐标为 ，即Q 3 （ ， ） . …………14分方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), ∴直线BE的解析式是  . ………………12分设Q 3 （  ， ）,过点Q 3 作Q 3 R⊥x轴于点R, ∵易证∠Q 3 AR =∠AEB得 Rt△AQ 3 R∽Rt△EAB, ∴  , 即  , ………………13分∴t= ,进而点Q 3 的纵坐标为 ，∴Q 3 （
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