如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC=25，BD=20，BE=7．（1）求DE的长；（2）如图2

Question

如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC=25，BD=20，BE=7．（1）求DE的长；（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．

Answer 1

由已知得CD=15，CE=24，
（1）由题设知∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△AEC，
故

AD

AE

＝

BD

CE

＝

AB

AC

…①，
由①有

AD AE ＝ 5 6 AE+7 AD+15 ＝ 5 6

，
∴

AD＝15 AE＝18

，
∴点D是Rt△AEC的中点，
∴故DE=

1

2

AC=15；

（2）证明：
方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，
则∠AFG=∠ADE=∠EBC，故GF∥BC；
方法二：连DF，则DF∥CE，
由（1）知D为AC中点，
∴F为AE中点，
∴AF=9，
∴AG=

54

5

，
∴

AG

AC

＝

54 5

30

＝

9

25

，
∴

AF

AB

＝

9

25

，
∴

AG

AC

＝

AF

AB

，
∴GF∥BC，
又∵H为△ABC垂心，
∴AH⊥BC，
∵GF∥BC，
∴AH⊥GF．